№ 73 ЗПС = № 73 ЗПС
Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 91. Якщо до цих чисел додати відповідно 25, 27 і 1, то отримаємо три числа, що утворять арифметичну прогресію. Знайдіть сьомий член геометричної прогресії.
Розв’язок:
Нехай дані числа — перші три члени геометричної прогресії: $b_{1}$, $b_{2}=b_{1}q$, $b_{3}=b_{1}q^{2}$. За умовою
$b_{1}+b_{1}q+b_{1}q^{2}=91$
Числа $b_{1}+25$, $b_{1}q+27$, $b_{1}q^{2}+1$ утворюють арифметичну прогресію. Скористаємося властивістю членів арифметичної прогресії:
$b_{1}q+27=\frac{b_{1}+25+b_{1}q^{2}+1}{2}$
$2b_{1}q+54=b_{1}+b_{1}q^{2}+26$
$b_{1}+b_{1}q^{2}=2b_{1}q+28$
Підставимо це в першу рівність:
$2b_{1}q+28+b_{1}q=91$
$3b_{1}q=63$
$b_{1}q=21$
Звідси $b_{1}=\frac{21}{q}$, і перша рівність набуває вигляду:
$\frac{21}{q}+21+21q=91$
$21+21q+21q^{2}=91q$
$21q^{2}-70q+21=0$
$q_{1{,}2}=\frac{70\pm\sqrt{4900-1764}}{42}=$
$=\frac{70\pm56}{42}$
$q_{1}=3$, $q_{2}=\frac{1}{3}$.
Якщо $q=3$, то $b_{1}=\frac{21}{3}=7$ і
$b_{7}=b_{1}q^{6}=7\cdot3^{6}=7\cdot729=5103.$
Якщо $q=\frac{1}{3}$, то $b_{1}=21:\frac{1}{3}=63$ і
$b_{7}=63\cdot\left( \frac{1}{3} \right)^{6}=\frac{63}{729}=\frac{7}{81}.$
Відповідь:
$5103$ або $\frac{7}{81}$.