Завдання № 73

№ 73 ЗПС = № 73 ЗПС

Сума трьох чисел, що утворюють геометричну прогресію, дорівнює 91. Якщо до цих чисел додати відповідно 25, 27 і 1, то отримаємо три числа, що утворять арифметичну прогресію. Знайдіть сьомий член геометричної прогресії.

Нехай $b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}$, $b_{n+1}=b_{1}\cdot q^{n}$, $b_{n+2}=b_{1}\cdot q^{n+1}$ — три члени геометричної прогресії, тоді

$b_{n}+b_{n+1}+b_{n+2}=$

$=b_{1}\cdot q^{n-1}+b_{1}\cdot q^{n}+b_{1}\cdot q^{n+1}=$

$=b_{1}\cdot q^{n-1}(1+q+q^{2})$

За умовою $b_{1}\cdot q^{n-1}(1+q+q^{2})=91$.

$b_{n}+25=b_{1}\cdot q^{n-1}+25$, $b_{n+1}+27=b_{1}\cdot q^{n}+27$, $b_{n+2}+1=b_{1}\cdot q^{n+1}+1$.

Скористаємося властивістю членів арифметичної прогресії:

$b_{n+1}+27=$

$=\frac{b_{n}+25+b_{n+2}+1}{2}$

$b_{1}\cdot q^{n}+27=$

$=\frac{b_{1}\cdot q^{n-1}+25+b_{1}\cdot q^{n+1}+1}{2}$

$2b_{1}\cdot q^{n}+54=$

$=b_{1}\cdot q^{n-1}+25+b_{1}\cdot q^{n+1}+1$

$2b_{1}\cdot q^{n}+54=$

$=b_{1}\cdot q^{n-1}+b_{1}\cdot q^{n+1}+26$

$b_{1}\cdot q^{n-1}+b_{1}\cdot q^{n+1}+b_{1}\cdot q^{n}-3b_{1}\cdot q^{n}-54+26=0$

$b_{1}\cdot q^{n-1}(1+q+q^{2})-3b_{1}\cdot q^{n}-28=0$

$91-3b_{1}\cdot q^{n}-28=0$

$3b_{1}\cdot q^{n}=63$

$b_{1}\cdot q^{n}=21$

$\frac{21}{q}(1+q+q^{2})=91$

$21+21q+21q^{2}=91q$

$21q^{2}-70q+21=0$

$q_{1{,}2}=\frac{70\pm\sqrt{4900+1764}}{42}=$

$=\frac{70\pm56}{42}$

$q_{1}=3$, $q_{2}=\frac{1}{3}$.

Оскільки $b_{1}\cdot q^{n}=21$, то $b_{1}=\frac{21}{q^{n}}$.

Якщо $n=1$, то $b_{1}=\frac{21}{q}$.

Якщо $q=3$, то $b_{1}=\frac{21}{3}=7$.

Якщо $q=\frac{1}{3}$, то $b_{1}=\frac{21}{1/3}=63$.

$b_{7}=b_{1}\cdot q^{6}=7\cdot3^{6}=7\cdot729=5103$ або

$b_{7}=b_{1}\cdot q^{6}=63\cdot\left( \frac{1}{3} \right)^{6}=\frac{63}{729}=\frac{7}{81}$.

$5103$ або $\frac{7}{81}$.