№ 74 ЗПС = № 74 ЗПС
Три числа утворюють геометричну прогресію. Якщо до другого числа додати 2, то вони утворять арифметичну прогресію. Якщо після цього до третього числа додати 16, то прогресія знову стане геометричною. Знайдіть три початкових числа.
Розв’язок:
$b_{1}$, $b_{1}q$, $b_{1}q^{2}$ — утворюють геометричну прогресію;
$b_{1}$, $b_{1}q+2$, $b_{1}q^{2}$ — утворюють арифметичну прогресію;
$b_{1}+b_{1}q^{2}=2(b_{1}q+2)$;
$b_{1}+b_{1}q^{2}-2b_{1}q=4$;
$b_{1}(1-2q+q^{2})=4$;
$b_{1}(1-q)^{2}=4$.
$b_{1}$, $b_{1}q+2$, $b_{1}q^{2}+16$ — утворюють геометричну прогресію;
$(b_{1}q+2)^{2}=b_{1}(b_{1}q^{2}+16)$;
$(b_{1}q+2)^{2}=b_{1}^{2}q^{2}+16b_{1}$;
$b_{1}^{2}q^{2}+4b_{1}q+4=b_{1}^{2}q^{2}+16b_{1}$;
$4b_{1}q+4=16b_{1}$;
$16b_{1}-4b_{1}q=4$;
$4b_{1}-b_{1}q=1$;
$b_{1}(4-q)=1$.
Складемо систему рівнянь:
$\begin{cases} b_{1}(1-q)^{2}=4 \\ b_{1}(4-q)=1 \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{(1-q)^{2}}{4-q}=4 \\ b_{1}=\frac{1}{4-q} \end{cases}$
$\begin{cases} 1-2q+q^{2}=16-4q \\ b_{1}=\frac{1}{4-q} \end{cases}$
$\begin{cases} q^{2}+2q-15=0 \\ b_{1}=\frac{1}{4-q} \end{cases}$
$\begin{cases} q_{1}=-5,q_{2}=3 \\ b_{1}=\frac{1}{4-q} \end{cases}$
Якщо $q=-5$, то $b_{1}=\frac{1}{4-(-5)}=\frac{1}{9}$, $b_{2}=-\frac{5}{9}$, $b_{3}=\frac{25}{9}$.
Якщо $q=3$, то $b_{1}=\frac{1}{4-3}=1$, $b_{2}=3$, $b_{3}=9$.
Відповідь:
$1$, $3$, $9$ або $\frac{1}{9}$, $-\frac{5}{9}$, $\frac{25}{9}$.