№ 76 ЗПС = № 76 ЗПС
На полиці стоять підряд 50 книжок, частина — з фізики, частина — з математики. Відомо, що жодна книжка з фізики не стоїть поряд з іншою книжкою з фізики, а кожна книжка з математики обов’язково стоїть поряд з іншою книжкою з математики. Якою може бути найбільша кількість книжок з фізики?
Розв’язок:
Позначимо книжку з фізики буквою $F$, а книжку з математики — буквою $M$.
Жодні дві книжки $F$ не стоять поруч, тому між двома сусідніми книжками $F$ стоїть хоча б одна книжка $M$.
Кожна книжка $M$ стоїть поряд з іншою книжкою $M$, тому книжки з математики стоять групами щонайменше по дві.
Отже, між будь-якими двома сусідніми книжками $F$ стоять не менше ніж дві книжки $M$.
Нехай книжок з фізики $k$. Між ними $k-1$ проміжків, і в кожному — не менше ніж $2$ книжки $M$. Тому
$k+2(k-1)\leq50$
$3k\leq52$
$k\leq17\frac{1}{3}$
Отже, книжок з фізики не більше ніж $17$.
Покажемо, що $17$ книжок з фізики поставити можна.
Поставимо $16$ разів поспіль трійку $FMM$ ($48$ книжок), а потім ще книжки $M$ і $F$.
Маємо $17$ книжок з фізики і $33$ — з математики (остання група — $MMM$), усього $17+33=50$ книжок, і обидві умови виконуються.
Відповідь:
$17$.