№ 82 ЗПС = № 82 ЗПС
Учениця навмання вибирає одне із чисел від 1930 до 2029. Яка ймовірність того, що це число можна записати у вигляді $2^{a}-2^{b}$, де $a$ і $b$ — натуральні числа?
Розв’язок:
Усього чисел від $1930$ до $2029$:
$2029-1930+1=100.$
Оскільки $2^{a}-2^{b}>0$, то $a>b$, тобто $b\leq a-1$.
Якщо $a\leq10$, то
$2^{a}-2^{b}<2^{a}\leq2^{10}=1024<1930.$
Якщо $a\geq12$, то
$2^{a}-2^{b}\geq2^{a}-2^{a-1}=2^{a-1}\geq$
$\geq2^{11}=2048>2029.$
Отже, $a=11$, і тоді
$1930\leq2048-2^{b}\leq2029,$
$19\leq2^{b}\leq118.$
Оскільки $2^{4}=16<19$ і $2^{7}=128>118$, цю нерівність задовольняють лише $b=5$ і $b=6$. Отримуємо два числа:
$2^{11}-2^{5}=$
$=2048-32=2016$
$2^{11}-2^{6}=$
$=2048-64=1984$
Отже, ймовірність того, що навмання вибране число має таку властивість, дорівнює:
$\frac{2}{100}=0{,}02$
Відповідь:
$0{,}02$.