Гомотетія із центром у початку координат переводить точку $B$ у точку $B'$. Знайдіть коефіцієнт гомотетії, якщо:
1) $B(2;-5)$, $B'(6;-15)$
2) $B(-2;8)$, $B'(-1;4)$
3) $B(4;5)$, $B'(-8;-10)$
4) $B(-16;-4)$, $B'(4;1)$
Розв’язок:
1)
$|k|=\frac{OB'}{OB}=\frac{\sqrt{6^{2}+(-15)^{2}}}{\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}}=$
$=\frac{\sqrt{261}}{\sqrt{29}}=\sqrt{9}=3$
$B$ і $B'$ по одну сторону від $O$, тому $k=3$.
2)
$|k|=\frac{OB'}{OB}=\frac{\sqrt{(-1-0)^{2}+(4-0)^{2}}}{\sqrt{(-2-0)^{2}+(8-0)^{2}}}=$
$=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{68}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
Точки $B$ і $B'$ лежать по один бік від $O$, тому $k=\frac{1}{2}$.
3)
$|k|=\frac{OB'}{OB}=\frac{\sqrt{(-8-0)^{2}+(-10-0)^{2}}}{\sqrt{4^{2}+5^{2}}}=$
$=\frac{\sqrt{164}}{\sqrt{41}}=\sqrt{4}=2$
$B$ і $B'$ лежать по різні сторони від т. $O(0;0)$ центра гомотетії, тому $k=-2$.
4)
$|k|=\frac{OB'}{OB}=\frac{\sqrt{4^{2}+1^{2}}}{\sqrt{(-16)^{2}+(-4)^{2}}}=$
$=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{272}}=\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4}$
Точки $B$ і $B'$ лежать по різні сторони від т. $O(0;0)$ центра гомотетії, тому $k=-\frac{1}{4}$.