Гомотетія із центром у початку координат переводить точку $A$ в точку $A'$. Знайдіть коефіцієнт гомотетії, якщо:
1) $A(-3;4)$, $A'(-6;8)$
2) $A(20;10)$, $A'(4;2)$
3) $A(-5;-1)$, $A'(15;3)$
4) $A(2;-6)$, $A'(-1;3)$
Розв’язок:
1)
$|k|=\frac{OA'}{OA}=\frac{\sqrt{(-6)^{2}+8^{2}}}{\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}}=\frac{10}{5}=2$
$k=2$
2)
$|k|=\frac{OA'}{OA}=\frac{\sqrt{4^{2}+2^{2}}}{\sqrt{20^{2}+10^{2}}}=$
$=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{500}}=\sqrt{\frac{1}{25}}=\frac{1}{5}$
$k=\frac{1}{5}$
У п. 1 і п. 2 точки $A$ і $A'$ лежать по одну сторону від т. $O$ — центра гомотетії, тому $k>0$.
3)
$|k|=\frac{OA'}{OA}=\frac{\sqrt{15^{2}+3^{2}}}{\sqrt{(-5)^{2}+(-1)^{2}}}=$
$=\frac{\sqrt{234}}{\sqrt{26}}=\sqrt{9}=3$
$k=-3$
4)
$|k|=\frac{OA'}{OA}=\frac{\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}}}{\sqrt{2^{2}+(-6)^{2}}}=$
$=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{40}}=\sqrt{\frac{10}{40}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
$k=-\frac{1}{2}$
У п. 3 і п. 4 точки $A$ і $A'$ лежать по різні сторони від т. $O$, тому $k<0$.