№ 104 Геометрія = № 104 Математика
У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 4 см і 6 см. Знайдіть площу трикутника.
Розв'язок:
У $\bigtriangleup ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$) $N$, $P$, $K$ — точки дотику вписаного кола.
$AP = 4$ см, $BP = 6$ см. $ON \perp AC$, $OP \perp AB$, $OK \perp BC$ — радіуси вписаного кола.
$AN = AP = 4$ см, $BK = BP = 6$ см як відрізки дотичних до кола, проведених з однієї точки.
$CNOK$ — квадрат, $CN = CK = x$ см.
Тоді $AC = (x + 4)$ см, $BC = (x + 6)$ см.
$AB = AP + PB = 4 + 6 = 10$ (см).
За теоремою Піфагора: $AB^{2} = AC^{2} + BC^{2}$.
$10^{2} = (x + 4)^{2} + (x + 6)^{2}$;
$100 = x^{2} + 8x + 16 + x^{2} +$
$+ 12x + 36$;
$2x^{2} + 20x - 48 = 0$;
$x^{2} + 10x - 24 = 0$;
$x_{1} = 2$, $x_{2} = - 12$ — не задовольняє умові $x > 0$.
Отже, $AC = 4 + 2 = 6$ (см), $BC = 6 + 2 = 8$ (см).
$S_{\bigtriangleup ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC =$
$= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\text{ (см}^{2}\text{)}.$
Відповідь:
24 см$^{2}$.