Знайдіть кут між меншою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо цей кут:
1) на 30° менший від кута між діагоналями, що лежить проти меншої сторони;
2) на 70° менший від кута між діагоналями прямокутника, що лежить проти більшої сторони.
Розв'язок:
Нехай ABCD — прямокутник, AC і BD — його діагоналі, O — точка їх перетину. Потрібно знайти кут ∠CAB (кут між меншою стороною AB і діагоналлю AC).
Нехай ∠CAB = x.
У прямокутнику ∠BAD = 90°. Діагоналі прямокутника рівні і діляться точкою перетину навпіл, тому AO = BO (властивість діагоналей прямокутника). Отже, трикутник AOB — рівнобедрений, тому
∠ABO =∠BAO = x (властивість рівнобедреного трикутника).
Тоді
∠AOB = 180° − 2x (сума кутів трикутника).
∠BOC = 180° − ∠AOB (як суміжні). Тому
∠BOC = 2x.
1. Кут між стороною AB і діагоналлю AC на 30° менший від кута між діагоналями, що лежить проти меншої сторони. Це гострий кут між діагоналями (180° − 2x). Тоді
x = (180° − 2x) − 30°.
x = 150° − 2x.
3x = 150°.
x = 50°.
2. Кут між стороною AB і діагоналлю AC на 70° менший від кута між діагоналями, що лежить проти більшої сторони. Це тупий кут між діагоналями (2x). Тоді
x = 2x − 70°.
x = 70°.
Відповідь:
1) 50°;
2) 70°.