Знайдіть кут між більшою стороною і діагоналлю прямокутника, якщо цей кут:
1) на 60° менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони;
2) на 20° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони.
Розв'язок:
Нехай ABCD — прямокутник, AC і BD — його діагоналі, O — точка їх перетину. Потрібно знайти кут ∠CAD (кут між більшою стороною AD і діагоналлю AC).
Нехай ∠CAD = x.
У прямокутнику діагоналі рівні і діляться точкою перетину навпіл, тому
AO = DO (властивість діагоналей прямокутника). Отже, трикутник AOD — рівнобедрений.
Тому ∠ADO = ∠CAD = x (властивість рівнобедреного трикутника).
Тоді ∠AOD = 180° − 2x (сума кутів трикутника).
Кути ∠AOD і ∠AOB — суміжні, тому ∠AOB = 2x.
Отже, один кут між діагоналями дорівнює 2x, а інший — 180° − 2x.
1. Кут між стороною AD і діагоналлю AC на 60° менший від кута між діагоналями, який лежить проти більшої сторони. Це тупий кут між діагоналями (180° − 2x).
x = (180° − 2x) − 60°
x = 120° − 2x
3x = 120°
x = 40°.
2. Кут між стороною AD і діагоналлю AC на 20° менший від кута між діагоналями, який лежить проти меншої сторони. Це гострий кут між діагоналями (2x).
x = 2x − 20°
x = 20°.
Відповідь:
1) 40°;
2) 20°.