№ 76 Геометрія = № 76 Математика
Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника ділить катет на відрізки 5 см і 13 см завдовжки. Знайдіть периметр трикутника.
Розв'язок:
У $\bigtriangleup ABC$ $\angle C = 90{^\circ}$. $AK$ — бісектриса кута $A$, $K \in BC$.
За властивістю бісектриси трикутника:
$\frac{AC}{AB} = \frac{CK}{KB}.$
Оскільки $AC < AB$, то $CK < KB$.
$CK = 5$ см; $KB = 13$ см; $CB = CK + KB = 5 + 13 =$
$= 18$ (см).
$\frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}.$
Позначимо $AC = 5x$ см; $AB = 13x$ см.
За теоремою Піфагора $AB^{2} = AC^{2} + CB^{2}$:
${(13x)^{2} = (5x)^{2} + 18^{2}; }$
${169x^{2} = 25x^{2} + 324; }$
${144x^{2} = 324; }$
$x^{2} = \frac{324}{144} = \frac{9}{4};$
$\quad x = \frac{3}{2} = 1{,}5.$
Тоді $AC = 5 \cdot 1{,}5 = 7{,}5$ (см); $AB = 13 \cdot 1{,}5 = 19{,}5$ (см).
$P_{\bigtriangleup ABC} = AC + CB + AB =$
$= 7{,}5 + 18 + 19{,}5 = 45\text{ (см)}.$
Відповідь:
$45$ см.