ABCD – прямокутник. Знайдіть:
1) ∠3, якщо ∠8 = 40°;
2) ∠2, якщо ∠9 = 110°;
3) ∠10, якщо ∠1 = 35°.
Розв'язок:
ABCD – прямокутник, тому AB ⟂ AD, AB ∥ CD, BC ∥ AD, а всі кути прямокутника дорівнюють 90°.
1. У вершині B:
∠8 + ∠7 = 90° (як частини прямого кута)
40° + ∠7 = 90°
∠7 = 50°.
Оскільки BC ∥ AD, то ∠7 = ∠3 (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих і січній BD).
Отже, ∠3 = 50°.
2. Розглянемо трикутник AOD (O — точка перетину діагоналей).
У прямокутнику діагоналі рівні і діляться точкою перетину навпіл, тому
AO = DO.
Отже, трикутник AOD — рівнобедрений, тому
∠2 = ∠3.
Кути ∠2, ∠3 і ∠9 утворюють трикутник AOD, тому
∠2 + ∠3 + ∠9 = 180°.
Підставимо ∠3 = ∠2:
∠2 + ∠2 + 110° = 180°
2∠2 = 70°
∠2 = 35°.
Отже,
∠2 = 35°.
3. Розглянемо трикутник ABO.
У прямокутнику діагоналі рівні і діляться точкою перетину навпіл, тому
AO = BO.
Отже, трикутник ABO — рівнобедрений, тому кути при основі рівні:
∠1 = ∠8.
Оскільки ∠1 = 35°, то
∠8 = 35°.
Сума кутів трикутника дорівнює 180°:
∠1 + ∠8 + ∠12 = 180°
35° + 35° + ∠12 = 180°
∠12 = 110°.
Кути ∠12 і ∠10 — вертикальні, тому
∠10 = 110°.
Відповідь:
1. ∠3 = 50°;
2. ∠2 = 35°;
3. ∠10 = 110°.