№ 99 Геометрія = № 99 Математика
Один з катетів прямокутного трикутника на 7 см більший за інший, а гіпотенуза дорівнює 13 см. Знайдіть площу трикутника.
Розв'язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$. Нехай $BC = x\text{ см}$ — менший катет, тоді $AC = (x + 7)\text{ см}$ — більший катет, $AB = 13\text{ см}$ — гіпотенуза.
За теоремою Піфагора $BC^{2} + AC^{2} = AB^{2}$:
${x^{2} + (x + 7)^{2} = 13^{2}; }$
${x^{2} + x^{2} + 14x + 49 = 169; }$
${2x^{2} + 14x - 120 = 0; }$
${x^{2} + 7x - 60 = 0.}$
$D = 49 + 240 = 289$; $\sqrt{D} = 17$.
$x = \frac{- 7 + 17}{2} = 5\quad(x > 0).$
Тоді $BC = 5\text{ см}$, $AC = 5 + 7 = 12\ (\text{см})$.
$S_{\bigtriangleup} = \frac{1}{2}BC \cdot AC =$
$= \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\ (\text{см}^{2}).$
Відповідь:
$30\text{ см}^{2}$.