№ 2.28 Геометрія = № 2.28 Математика
Побудуйте кут $\alpha$, якщо:
1) $\cos\alpha=-\frac{3}{7}$;
2) $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.
Розв’язок:
1) Оскільки $\cos\alpha=-\frac{3}{7}<0$, кут $\alpha$ — тупий. Скористаємося формулою зведення $\cos\alpha=-\cos(180^{\circ}-\alpha)$. Позначимо $\beta=180^{\circ}-\alpha$ — гострий кут; тоді $\cos\beta=\frac{3}{7}$.
Спочатку будуємо гострий кут $\beta$:
1) Будуємо прямий кут $C$.
2) На одній із сторін відкладаємо $CA=3$.
3) Коло з центром $A$, $R=7$ перетинає іншу сторону кута $C$ у точці $B$. Тоді $\cos\angle BAC=\frac{3}{7}$, тобто $\angle BAC=\beta$.
4) На промені $AC$ за точку $A$ відкладаємо точку $A'$. Тоді $\angle BAA'=180^{\circ}-\angle BAC=$
$=180^{\circ}-\beta=\alpha$ — шуканий тупий кут.
2) $\sin\alpha=\frac{3}{5}>0$. Оскільки в проміжку $0^{\circ}\leq\alpha\leq180^{\circ}$ синус додатний при двох значеннях $\alpha$, існує два кути, що задовольняють умову: гострий $\alpha_{1}$ і тупий $\alpha_{2}=180^{\circ}-\alpha_{1}$.
Спочатку будуємо гострий кут $\alpha_{1}$:
1) Будуємо прямий кут $C$.
2) На одній із сторін відкладаємо катет $CB=3$.
3) Коло з центром $B$, $R=5$ перетинає іншу сторону кута $C$ у точці $A$.
Тоді $\sin\angle A=\frac{CB}{AB}=\frac{3}{5}$, тобто $\angle A=\alpha_{1}$ — шуканий гострий кут.
Тупий кут $\alpha_{2}=180^{\circ}-\alpha_{1}$ будуємо як суміжний до $\angle A$: на промені, що містить $AC$, за точку $A$ відкладаємо точку $A'$. Тоді $\angle BAA'=180^{\circ}-\alpha_{1}=\alpha_{2}$, і $\sin\alpha_{2}=\sin\left( 180^{\circ}-\alpha_{1} \right)=$
$=\sin\alpha_{1}=\frac{3}{5}$.
