№ 3.20 Геометрія = № 3.20 Математика
Чи є чотирикутник $ABCD$ паралелограмом, якщо:
1) $A(-7;-2)$, $B(-5;4)$, $C(5;2)$, $D(3;-4)$;
2) $A(2;6)$, $B(3;1)$, $C(-3;0)$, $D(-4;4)$?
Розв’язок:
1) Знайдемо довжини сторін чотирикутника:
$AB=\sqrt{(-5-(-7))^{2}+(4-(-2))^{2}}=$
$=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}$
$BC=\sqrt{(5-(-5))^{2}+(2-4)^{2}}=$
$=\sqrt{10^{2}+(-2)^{2}}=$
$=\sqrt{100+4}=\sqrt{104}$
$CD=\sqrt{(3-5)^{2}+(-4-2)^{2}}=$
$=\sqrt{(-2)^{2}+(-6)^{2}}=$
$=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}$
$AD=\sqrt{(3-(-7))^{2}+(-4-(-2))^{2}}=$
$=\sqrt{10^{2}+(-2)^{2}}=$
$=\sqrt{100+4}=\sqrt{104}$
Оскільки $AB=CD=\sqrt{40}$ та $BC=AD=\sqrt{104}$, то протилежні сторони чотирикутника попарно рівні. Отже, $ABCD$ — паралелограм.
2) Знайдемо середину діагоналі $AC$ (точку $O_{1}$):
$O_{1}=\left( \frac{2+(-3)}{2};\frac{6+0}{2} \right)=\left(-\frac{1}{2};3 \right)$
Знайдемо середину діагоналі $BD$ (точку $O_{2}$):
$O_{2}=\left( \frac{3+(-4)}{2};\frac{1+4}{2} \right)=\left(-\frac{1}{2};2{,}5 \right)$
Точки $O_{1}$ та $O_{2}$ не збігаються. Отже, діагоналі чотирикутника $ABCD$ не діляться точкою перетину навпіл, тому $ABCD$ не є паралелограмом.