№ 3.37 Геометрія = № 3.37 Математика
Доведіть, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами в точках $A(-4;-1)$, $B(-1;2)$, $C(3;-2)$ і $D(0;-5)$ — прямокутник.
Розв’язок:
$O_{1}$ — середина $AC$;
$O_{1}\left( \frac{-4+3}{2};\frac{-1-2}{2} \right)$; $O_{1}\left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right)$.
$O_{2}$ — середина $BD$; $O_{2}\left( \frac{-1+0}{2};\frac{2-5}{2} \right)$;
$O_{2}\left(-\frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right)$.
$O_{1}$ і $O_{2}$ збігаються. Отже, діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, тому $ABCD$ — паралелограм.
$AC=\sqrt{(3-(-4))^{2}+(-2-(-1))^{2}}=$
$=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}$.
$BD=\sqrt{(0-(-1))^{2}+(-5-2)^{2}}=$
$=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$.
$AC=BD$. Діагоналі паралелограма $ABCD$ рівні. Отже, $ABCD$ — прямокутник.