№ 3.39 Геометрія = № 3.39 Математика
Знайдіть значення $x$, за якого трикутник з вершинами $A(-4;0)$, $B(0;4)$, $C(x;-x)$ — рівносторонній.
Розв’язок:
Знайдемо довжину сторони $AB$:
$AB=\sqrt{(0-(-4))^{2}+(4-0)^{2}}=$
$=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$
Оскільки трикутник рівносторонній, то $AC=AB$. Піднесемо обидві частини до квадрата:
$AC^{2}=AB^{2}$
$(x-(-4))^{2}+(x-0)^{2}=(4\sqrt{2})^{2}$
$(x+4)^{2}+x^{2}=32$
$x^{2}+8x+16+x^{2}=32$
$2x^{2}+8x-16=0$
Поділимо рівняння на $2$:
$x^{2}+4x-8=0$
Знайдемо дискримінант:
$D=4^{2}-4\cdot1\cdot(-8)=16+32=48$
Знайдемо корені рівняння:
$x=\frac{-4\pm\sqrt{48}}{2}$
$x=\frac{-4\pm4\sqrt{3}}{2}$
$x=-2\pm2\sqrt{3}$
Відповідь:
$-2-2\sqrt{3}$, $-2+2\sqrt{3}$.