№ 3.40 Геометрія = № 3.40 Математика
Доведіть, що трикутник $ABC$ з вершинами в точках $A(-4;16)$, $B(6;-4)$, $C(3;-5)$ — прямокутний. Знайдіть гострі кути трикутника з точністю до хвилини.
Розв’язок:
Знайдемо довжини сторін трикутника за формулою відстані між двома точками:
$AB=\sqrt{(6-(-4))^{2}+(-4-16)^{2}}=$
$=\sqrt{100+400}=\sqrt{500}$
$BC=\sqrt{(3-6)^{2}+(-5-(-4))^{2}}=$
$=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$
$AC=\sqrt{(3-(-4))^{2}+(-5-16)^{2}}=$
$=\sqrt{49+441}=\sqrt{490}$
Перевіримо виконання теореми Піфагора:
$AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}$
$(\sqrt{500})^{2}=(\sqrt{10})^{2}+(\sqrt{490})^{2}$
$500=10+490$
Оскільки рівність виконується, то за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, $\bigtriangleup ABC$ — прямокутний з прямим кутом $C$.
$\angle A$ і $\angle B$ — гострі кути прямокутного трикутника.
$\sin\angle A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{500}}=$
$=\sqrt{\frac{1}{50}}=\sqrt{0{,}02}\approx0{,}1414$
$\angle A\approx8^{\circ}08'$ (знаходимо за таблицею або за допомогою калькулятора).
$\angle B=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-8^{\circ}08'=81^{\circ}52'$
Відповідь:
$\angle A\approx8^{\circ}08'$, $\angle B\approx81^{\circ}52'$.