№ 4.18 Геометрія = № 4.18 Математика
У Європейських математичних олімпіадах серед дівчат бере участь команда із $4$ учасниць від кожної країни. Нехай $O(x_{1};y_{1})$ — центр кола, заданого рівнянням $x^{2}-6x+y^{2}-2y+5=0$. Знайдіть координати точки $O$, відтак дізнаєтеся: $x_{1}$ — кількість золотих медалей, $y_{1}$ — кількість срібних медалей, які здобула збірна України на олімпіаді $2024$ р.
Розв’язок:
Зведемо рівняння кола до канонічного вигляду $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$, де $(a;b)$ — координати центра кола.
Для цього виділимо повні квадрати:
$x^{2}-6x+y^{2}-2y+5=0$
$(x^{2}-6x+9)-9+(y^{2}-2y+1)-1+5=0$
$(x-3)^{2}+(y-1)^{2}-5=0$
$(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=5$
Отже, центр кола $O$ має координати $(3;1)$.
Таким чином, $x_{1}=3$, $y_{1}=1$.
Відповідь:
$O(3;1)$. Збірна України здобула $3$ золоті та $1$ срібну медаль.