№ 4.28 Геометрія = № 4.28 Математика
Складіть рівняння кола із центром, який лежить на бісектрисі другого координатного кута і радіусом $13$ та яке проходить через точку $A(1;-8)$.
Розв’язок:
Бісектриса другого координатного кута має рівняння $y=-x$. Отже, центр кола має координати $O(x;-x)$.
Відстань від центра $O$ до точки $A(1;-8)$ дорівнює радіусу $R=13$:
$OA^{2}=(1-x)^{2}+(-8-(-x))^{2}=13^{2}$
$(1-x)^{2}+(x-8)^{2}=169$
$1-2x+x^{2}+x^{2}-16x+64=169$
$2x^{2}-18x-104=0$
$x^{2}-9x-52=0$
За теоремою Вієта або через дискримінант
$D=81-4\cdot(-52)=$
$=81+208=289=17^{2}$:
$x_{1}=\frac{9-17}{2}=-4$
$x_{2}=\frac{9+17}{2}=13$
$x_{1}=-4$, тоді $y_{1}=-(-4)=4$. Центр $O(-4;4)$ — лежить у II квадранті ✓
$x_{2}=13$, тоді $y_{2}=-13$. Центр $(13;-13)$ — лежить у IV квадранті, не належить бісектрисі другого координатного кута ✗
Отже, $O(-4;4)$ і рівняння кола:
$(x+4)^{2}+(y-4)^{2}=169$
Відповідь:
$(x+4)^{2}+(y-4)^{2}=169$.