№ 4.32 Геометрія = № 4.32 Математика
Складіть рівняння кола, вписаного у трикутник $ABC$, якщо $A(0;3)$, $B(4;0)$, $C(0;0)$.
Розв’язок:
Трикутник $ABC$ прямокутний: $\angle C=90^{\circ}$, $AC=3$, $CB=4$, $AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.
Нехай $O$ — центр вписаного кола, $r$ — його радіус. Коло дотикається до катетів $CA$ і $CB$, які лежать на осях координат, тому відстані від точки $O$ до осей дорівнюють $r$, тобто $O(r;r)$.
Відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, рівні. З вершини $C$ вони дорівнюють $r$, тому з вершини $A$ — $3-r$, а з вершини $B$ — $4-r$. Гіпотенуза $AB$ складається з відрізків дотичних з вершин $A$ і $B$:
$(3-r)+(4-r)=5$, звідки $r=1$.
Отже, центр кола $O(1;1)$, $r=1$, і рівняння кола: $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$.
Відповідь:
$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$.