№ 5.32 Геометрія = № 5.32 Математика
За якого значення $a$ точки $A(1;2)$, $B(-2;3)$ і $C(a;4)$ лежать на одній прямій?
Розв’язок:
Рівняння прямої $AB$:
$\frac{x-1}{-2-1}=\frac{y-2}{3-2}$
$\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{1}$
$-3y+6=x-1$
$-3y=x-7$
$y=-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}$
Рівняння прямої $BC$:
$\frac{x+2}{a+2}=\frac{y-3}{4-3}$
$\frac{x+2}{a+2}=\frac{y-3}{1}$
$(a+2)(y-3)=x+2$
$(a+2)y=x+2+(a+2)\cdot3$
$(a+2)y=x+3a+8$
$y=\frac{1}{a+2}x+\frac{3a+8}{a+2}$
Якщо прямі $AB$ і $BC$ мають однакові кутові коефіцієнти, то прямі паралельні.
Так як $AB$ і $BC$ мають спільну точку $B$, то $AB$ і $BC$ збігаються, тобто лежать на одній прямій.
Отже,
$\frac{1}{a+2}=-\frac{1}{3}$
Звідси
$a+2=-3$
$a=-5$
При $a=-5$ точки лежать на одній прямій.