№ 5.36 Геометрія = № 5.36 Математика
Доведіть, що прямі $y=k_{1}x+l_{1}$ і $y=k_{2}x+l_{2}$ взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, якщо $k_{1}k_{2}=-1$ (умова перпендикулярності прямих).
Розв’язок:
Нехай пряма $y=k_{1}x+l_{1}$ утворює з додатним напрямком осі $x$ кут $\alpha$, тоді $k_{1}=\text{tg }\alpha$. Пряма $y=k_{2}x+l_{2}$, перпендикулярна до неї, утворює з додатним напрямком осі $x$ кут $90^{\circ}+\alpha$, тому $k_{2}=\text{tg}(90^{\circ}+\alpha)$.
$k_{1}\cdot k_{2}=\text{tg }\alpha\cdot\text{tg}(90^{\circ}+\alpha)=$
$=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{sin(90^{\circ}+\alpha)}{cos(90^{\circ}+\alpha)}=$
$=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{-sin\alpha}=-1$