№ 5.36 Геометрія = № 5.36 Математика
Доведіть, що прямі $y=k_{1}x+l_{1}$ і $y=k_{2}x+l_{2}$ взаємно перпендикулярні тоді і тільки тоді, якщо $k_{1}k_{2}=-1$ (умова перпендикулярності прямих).
Розв’язок:
1) Нехай прямі перпендикулярні. Одна з них утворює з додатним напрямком осі $x$ гострий кут $\alpha$ (позначимо її $y=k_{1}x+l_{1}$), тоді $k_{1}=tg\alpha$. Друга пряма перпендикулярна до першої, тому утворює з додатним напрямком осі $x$ кут $90^{\circ}+\alpha$ (зовнішній кут трикутника, утвореного прямими та віссю $x$) і $k_{2}=tg(90^{\circ}+\alpha)$.
За тотожностями $tg(180^{\circ}-\beta)=-tg\beta$ і $\sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha$, $\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha$:
$tg(90^{\circ}+\alpha)=tg(180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha))=-tg(90^{\circ}-\alpha)=-\frac{\sin(90^{\circ}-\alpha)}{\cos(90^{\circ}-\alpha)}=-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Тоді $k_{1}k_{2}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\left(-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \right)=-1$.
2) Нехай $k_{1}k_{2}=-1$, де $k_{1}=tg\alpha$ і кут $\alpha$ гострий. Тоді $k_{2}=-\frac{1}{k_{1}}=-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=tg(90^{\circ}+\alpha)$. Кожному значенню тангенса відповідає лише один кут від $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$, тому друга пряма утворює з додатним напрямком осі $x$ кут $90^{\circ}+\alpha$, тобто прямі перпендикулярні.
Що й треба було довести.