№ 21 ВПР 1 Геометрія = № 21 ВПТ 1 Математика
Доведіть тригонометричну тотожність:
$\left( \frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha} \right)^{2}-\left( \text{tg}\,\alpha+\frac{1}{\text{tg}\,\alpha} \right)^{2}=\frac{2}{\sin\alpha\cos\alpha}$
Розв’язок:
Перетворимо ліву частину тотожності:
$\left( \frac{1}{\sin\alpha}+\frac{1}{\cos\alpha} \right)^{2}-\left( \text{tg}\,\alpha+\frac{1}{\text{tg}\,\alpha} \right)^{2}=$
$=\left( \frac{\cos\alpha+sin\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} \right)^{2}-\left( \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \right)^{2}=$
$=\frac{(cos\alpha+sin\alpha)^{2}}{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}-\left( \frac{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} \right)^{2}=$
$=\frac{\cos^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}-\frac{1^{2}}{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}=$
$=\frac{1+2\sin\alpha\cos\alpha-1}{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}=$
$=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}=$
$=\frac{2}{\sin\alpha\cos\alpha}$
Оскільки ліва частина дорівнює правій, тотожність доведено.