№ 35 ВПР 1 Геометрія = № 35 ВПТ 1 Математика
Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках $A(1;0)$, $B(4;-4)$, $C(8;-1)$ і $D(5;3)$ є квадратом.
Розв’язок:
$A(1;0)$, $B(4;-4)$, $C(8;-1)$, $D(5;3)$.
$O$ — середина $AC$:
$O\left( \frac{1+8}{2};\frac{0-1}{2} \right);O\left( \frac{9}{2};-\frac{1}{2} \right)$.
$O_{1}$ — середина $BD$:
$O_{1}\left( \frac{4+5}{2};\frac{-4+3}{2} \right);O_{1}\left( \frac{9}{2};-\frac{1}{2} \right)$.
$O$ і $O_{1}$ збігаються.
Діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Отже, $ABCD$ — паралелограм.
$AC=\sqrt{(8-1)^{2}+(-1-0)^{2}}=$
$=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
$BD=\sqrt{(5-4)^{2}+(3+4)^{2}}=$
$=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$
$AC=BD$. Отже, $ABCD$ — прямокутник або квадрат.
Знайдемо довжини сусідніх сторін:
$AB=\sqrt{(4-1)^{2}+(-4-0)^{2}}=5$
$BC=\sqrt{(8-4)^{2}+(-1+4)^{2}}=5$
Вони рівні.
Отже, $ABCD$ — квадрат.