№ 37 ВПР 1 Геометрія = № 37 ВПТ 1 Математика
Доведіть, що всі кути трикутника з вершинами в точках $A(0;4)$, $B(2;3)$ і $C(1;5)$ гострі.
[МАЛЮНОК: трикутник ABC на координатній площині]
Розв’язок:
Знайдемо довжини сторін трикутника:
$AB=\sqrt{(2-0)^{2}+(3-4)^{2}}=$
$=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5}$
$BC=\sqrt{(1-2)^{2}+(5-3)^{2}}=$
$=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$
$AC=\sqrt{(1-0)^{2}+(5-4)^{2}}=$
$=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$
Трикутник є гострокутним, якщо квадрат кожної сторони менший за суму квадратів двох інших сторін (наслідок з теореми косинусів):
1) $(\sqrt{2})^{2}<(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2} \Rightarrow$
$2<5+5=10$ (кут $B$ гострий)
2) $(\sqrt{5})^{2}<(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{2})^{2} \Rightarrow$
$5<5+2=7$ (кут $A$ гострий)
3) $(\sqrt{5})^{2}<(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{2})^{2} \Rightarrow$
$5<5+2=7$ (кут $C$ гострий)
Оскільки всі нерівності виконуються, $\bigtriangleup ABC$ — гострокутний.
Що й треба було довести.