№ 50 ВПР 1 Геометрія = № 50 ВПТ 1 Математика
Складіть рівняння кола, яке дотикається до координатних осей і проходить через точку $A(2;1)$.
Розв’язок:
Якщо коло дотикається до координатних осей, то його центр лежить на бісектрисі, в даному випадку I координатного кута, бо коло проходить через точку $A(2;1)$, розміщену у I координатній чверті. Тому абсциса і ордината центра рівні і дорівнюють радіусу. Нехай $O(m;m)$ — центр, тоді $R=m$ (де $m>0$) і $R=OA$.
Відстань від центра $O(m;m)$ до точки $A(2;1)$ дорівнює радіусу $R=m$:
$OA=\sqrt{(2-m)^{2}+(1-m)^{2}}=m$
Піднесемо обидві частини до квадрата:
$(2-m)^{2}+(1-m)^{2}=m^{2}$
$4-4m+m^{2}+1-2m+m^{2}=m^{2}$
$m^{2}-6m+5=0$
За теоремою Вієта або через дискримінант знаходимо корені:
$m=1\text{ або }m=5$
Отже, маємо два випадки:
1) Центр кола $(1;1)$, $R=1$, тоді рівняння кола:
$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$
2) Центр кола $(5;5)$, $R=5$, тоді рівняння кола:
$(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25$
Відповідь:
$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=1$ або $(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=25$.