№ 52 ВПР 1 Геометрія = № 52 ВПТ 1 Математика
На осі абсцис знайдіть точки, з яких відрізок $AB$ видно під прямим кутом, якщо $A(6;0)$, $B(14;6)$.
Розв’язок:
Нехай $C(x;0)$ — точка на осі абсцис, з якої відрізок $AB$ видно під прямим кутом, тобто $\angle ACB=90^{\circ}$.
Знайдемо квадрати відстаней:
$AC^{2}=(x-6)^{2}$
$BC^{2}=(x-14)^{2}+36$
$AB^{2}=(14-6)^{2}+6^{2}=$
$=64+36=100$
За теоремою Піфагора у $\bigtriangleup ACB$ з прямим кутом при $C$: $AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$.
$(x-6)^{2}+(x-14)^{2}+36=100$
$x^{2}-12x+36+x^{2}-28x+196+36=100$
$2x^{2}-40x+168=0$
$x^{2}-20x+84=0$
За теоремою Вієта корені: $x_{1}=6$, $x_{2}=14$.
Якщо $x=6$, то $C(6;0)=A$ — точка збігається з $A$, трикутник вироджений.
Якщо $x=14$, то $C(14;0)$. Перевіримо: $C(14;0)$ — це не точка $B(14;6)$, у них однакова абсциса, але різні ординати. Перевіримо за оберненою теоремою Піфагора:
$AC=\sqrt{(14-6)^{2}+0^{2}}=8;$
$BC=\sqrt{(14-14)^{2}+6^{2}}=6;$
$AB\=\ 10.$
$AC^{2}+BC^{2}=64+36=$
$=100=AB^{2}$, отже $\bigtriangleup ACB$ — прямокутний з прямим кутом при $C$.
Відповідь:
$(14;0)$.