№ 72 ВПР 1 Геометрія = № 72 ВПТ 1 Математика
Три вершини прямокутника містяться в точках $(0;4)$, $(8;4)$ і $(8;-2)$. У яких точках коло $(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=25$ перетинає сторони прямокутника?
Розв’язок:
Вершини прямокутника $(0;4)$, $(8;4)$, $(8;-2)$, четверта вершина має координату $(0;-2)$. Оскільки дві вершини $(0;4)$ і $(8;4)$ мають однакову ординату, то рівняння прямої, яка проходить через цю сторону, задається рівнянням $y=4$.
Аналогічно: інші сторони задаються рівняннями: $x=0$; $x=8$; $y=-2$.
Знайдемо точки перетину:
1) прямої $y=4$ і даного кола:
$(x-3)^{2}+(4-1)^{2}=25$
$(x-3)^{2}=16$
$x-3=4$ або $x-3=-4$
$x=7$ або $x=-1$
$(7;4)$ — точка перетину; $(-1;4)$ — лежить на прямій $y=4$, але не належить стороні прямокутника;
2) прямої $y=-2$ і даного кола:
$(x-3)^{2}+(-2-1)^{2}=25$
$(x-3)^{2}=16$
$x-3=4$ або $x-3=-4$
$x=7$ або $x=-1$
точка $(-1;-2)$ не належить стороні прямокутника; $(7;-2)$ — точка перетину;
3) прямої $x=0$ і даного кола:
$(0-3)^{2}+(y-1)^{2}=25$
$(y-1)^{2}=16$
$y-1=4$ або $y-1=-4$
$y=5$ або $y=-3$
$(0;5)$ і $(0;-3)$ — не належать стороні прямокутника;
4) прямої $x=8$ і даного кола:
$(8-3)^{2}+(y-1)^{2}=25$
$(y-1)^{2}=0$
$y=1$
$(8;1)$ — точка перетину.
Отже, коло перетинає сторони прямокутника в точках $(7;4)$, $(7;-2)$, $(8;1)$.