№ 10.20 Геометрія = № 17.20 Математика
Знайдіть кути трикутника, вершинами якого є точки $A(-3;0)$, $B(0;4)$ і $C(4;1)$. З’ясуйте вид трикутника.
Розв’язок:
$\angle A$ утворюють $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AB}(3;4)$, $\overrightarrow{AC}(7;1)$.
$cos\angle A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}=$
$=\frac{3\cdot7+4\cdot1}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}\cdot\sqrt{7^{2}+1^{2}}}=$
$=\frac{25}{5\cdot\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Отже, $\angle A=45^{\circ}$.
$\angle B$ утворюють $\overrightarrow{BA}$ і $\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{BA}(-3;-4)$, $\overrightarrow{BC}(4;-3)$.
$cos\angle B=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\cdot|\overrightarrow{BC}|}=$
$=\frac{-3\cdot4+(-4)\cdot(-3)}{\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}\cdot\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=$
$=\frac{-12+12}{5\cdot5}=\frac{0}{25}=0$
Отже, $\angle B=90^{\circ}$.
Тоді $\angle C=180^{\circ}-(90^{\circ}+45^{\circ})=45^{\circ}$.
$\bigtriangleup ABC$ — рівнобедрений прямокутний.