Завдання № 10.21

№ 10.21 Геометрія = № 17.21 Математика

Знайдіть косинуси кутів трикутника $KLM$, де $K(0;6)$, $L(-8;0)$ і $M(3;2)$. З’ясуйте вид трикутника.

Знайдемо вектори сторін:

$\overrightarrow{KL}=(-8-0;0-6)=(-8;-6)$

$\overrightarrow{KM}=(3-0;2-6)=(3;-4)$

$\overrightarrow{LK}=(0-(-8);6-0)=(8;6)$

$\overrightarrow{LM}=(3-(-8);2-0)=(11;2)$

$\overrightarrow{MK}=(0-3;6-2)=(-3;4)$

$\overrightarrow{ML}=(-8-3;0-2)=(-11;-2)$

Довжини векторів:

$\left| \overrightarrow{KL} \right|=\sqrt{(-8)^{2}+(-6)^{2}}=$

$=\sqrt{64+36}=10$

$\left| \overrightarrow{KM} \right|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=$

$=\sqrt{9+16}=5$

$\left| \overrightarrow{LM} \right|=\sqrt{11^{2}+2^{2}}=$

$=\sqrt{121+4}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$

Косинуси кутів:

$\cos\angle K=\frac{\overrightarrow{KL}\cdot\overrightarrow{KM}}{\left| \overrightarrow{KL} \right|\cdot\left| \overrightarrow{KM} \right|}=$

$=\frac{-8\cdot3+(-6)\cdot(-4)}{10\cdot5}=$

$=\frac{-24+24}{50}=0$

$\cos\angle L=\frac{\overrightarrow{LK}\cdot\overrightarrow{LM}}{\left| \overrightarrow{LK} \right|\cdot\left| \overrightarrow{LM} \right|}=$

$=\frac{8\cdot11+6\cdot2}{10\cdot5\sqrt{5}}=\frac{88+12}{50\sqrt{5}}=$

$=\frac{100}{50\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\cos\angle M=\frac{\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{ML}}{\left| \overrightarrow{MK} \right|\cdot\left| \overrightarrow{ML} \right|}=$

$=\frac{-3\cdot(-11)+4\cdot(-2)}{5\cdot5\sqrt{5}}=$

$=\frac{33-8}{25\sqrt{5}}=\frac{25}{25\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Оскільки $\cos\angle K=0$, то $\angle K=90^{\circ}$.

$\cos\angle K=0$, $\cos\angle L=\frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cos\angle M=\frac{\sqrt{5}}{5}$. Трикутник прямокутний.