№ 10.27 Геометрія = № 17.27 Математика
Паралімпієць-візочник, українець Олег Іваненко, проплив $62$ км Ла-Маншем. Знайдіть скалярний добуток $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})(13\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$, якщо $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$, $\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=60^{\circ}$, відтак дізнаєтеся, за скільки годин спортсмен проплив цю небезпечну протоку.
Розв’язок:
Розкриємо дужки у виразі скалярного добутку:
$\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)\left( 13\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)=$
$=13{\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+13\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^{2}=$
$=13{\overrightarrow{a}}^{2}+12\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{b}}^{2}$
Оскільки ${\overrightarrow{a}}^{2}=|\overrightarrow{a}|^{2}=1^{2}=1$, ${\overrightarrow{b}}^{2}=|\overrightarrow{b}|^{2}=1^{2}=1$, а скалярний добуток $\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos 60^{\circ}=1\cdot1\cdot0{,}5=0{,}5$, підставимо ці значення:
$13\cdot1+12\cdot0{,}5-1=$
$=13+6-1=18$
Отже, скалярний добуток дорівнює $18$ — спортсмен проплив Ла-Манш за $18$ годин.
Відповідь:
$18$ годин.