№ 10.28 Геометрія = № 17.28 Математика
Дано: $|\overrightarrow{a}|=3$, $|\overrightarrow{b}|=4$. Чи може $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ дорівнювати:
1) $-12$;
2) $-6$;
3) $-14$;
4) $0$;
5) $11$;
6) $12\frac{1}{2}$?
Розв’язок:
$|\overrightarrow{a}|=3$; $|\overrightarrow{b}|=4$; $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\varphi$.
1) Якщо $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-12$, то $\cos\varphi=-1$; $\varphi=180^{\circ}$.
2) Якщо $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-6$, то $|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cos\varphi=-6$;
$\cos\varphi=-\frac{6}{12}=-\frac{1}{2}$. Отже, $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ може дорівнювати $-6$.
3) Якщо $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-14$, то $\cos\varphi=-\frac{14}{12}$, а це не можливо. Отже, $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ не може дорівнювати $-14$.
4) $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$, якщо $\varphi=90^{\circ}$, тобто $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$.
5) Якщо $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=11$, то $\cos\varphi=\frac{11}{12}$ — можливо. Отже, $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ може дорівнювати $11$.
6) Якщо $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=12\frac{1}{2}$, то $\cos\varphi=\frac{25}{2}\ :12=\frac{25}{24}>1$, а це неможливо. Отже, $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ — неможливо.