Завдання № 10.30

№ 10.30 Геометрія = № 17.30 Математика

Дано: $|\overrightarrow{a}|=5$, $|\overrightarrow{b}|=2$, $\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=60^{\circ}$. Знайдіть:

1) $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$;

2) $|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$.

1) Використаємо властивість скалярного квадрата вектора $|\overrightarrow{x}|^{2}={\overrightarrow{x}}^{2}$:

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^{2}=$

$=|\overrightarrow{a}|^{2}+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|^{2}=$

$=|\overrightarrow{a}|^{2}+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos60^{\circ}+|\overrightarrow{b}|^{2}=$

$=5^{2}+2\cdot5\cdot2\cdot\frac{1}{2}+2^{2}=$

$=25+10+4=39$

$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{39}$

2) Аналогічно для другого виразу:

$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^{2}=$

$=(3\overrightarrow{a})^{2}-2\cdot3\overrightarrow{a}\cdot2\overrightarrow{b}+(2\overrightarrow{b})^{2}=$

$=9|\overrightarrow{a}|^{2}-12\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}|^{2}=$

$=9|\overrightarrow{a}|^{2}-12|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos60^{\circ}+4|\overrightarrow{b}|^{2}=$

$=9\cdot5^{2}-12\cdot5\cdot2\cdot\frac{1}{2}+4\cdot2^{2}=$

$=225-60+16=181$

$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=\sqrt{181}$

1) $\sqrt{39}$;

2) $\sqrt{181}$.