№ 10.31 Геометрія = № 17.31 Математика
Відомо, що $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$, а вектори $\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ і $\overrightarrow{a}$ взаємно перпендикулярні. Знайдіть кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.
Розв’язок:
Якщо вектори $\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ і $\overrightarrow{a}$ взаємно перпендикулярні, то їхній скалярний добуток дорівнює $0$:
$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{a}=0$
Розкриємо дужки та використаємо властивість скалярного добутку $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^{2}$ та $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot\cos\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})$:
$|\overrightarrow{a}|^{2}+2(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})=0$
$1^{2}+2\cdot1\cdot1\cdot cos\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=0$
$1+2cos\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=0$
$2cos\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=-1$
$cos\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=-\frac{1}{2}$
Отже, $\angle(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})=120^{\circ}$.
Відповідь:
$120^{\circ}$.