№ 10.32 Геометрія = № 17.32 Математика
Відомо, що $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$, $\angle(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=60^{\circ}$. Доведіть, що вектори $\overrightarrow{a}$ і $2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$ взаємно перпендикулярні.
Розв’язок:
Знайдемо скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}$ та $(2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$:
$\overrightarrow{a}\cdot(2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{a}}^{2}=$
$=2\cdot|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot cos60^{\circ}-|\overrightarrow{a}|^{2}=$
$=2\cdot1\cdot1\cdot\frac{1}{2}-1^{2}=1-1=0$
Оскільки скалярний добуток векторів дорівнює $0$, то ці вектори взаємно перпендикулярні.
Отже, $\overrightarrow{a} \perp (2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$.
Що й треба було довести.