№ 10.39 Геометрія = № 17.39 Математика
Відомо, що $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$, $|\overrightarrow{a}|=2$, $|\overrightarrow{b}|=3$, $|\overrightarrow{c}|=1$. Обчисліть скалярний добуток векторів $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.
Розв’язок:
$\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}=\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \right)\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right)=$
$=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}-{\overrightarrow{c}}^{2}=$
$={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}-{\overrightarrow{c}}^{2}=$
$=|\overrightarrow{a}|^{2}+|\overrightarrow{b}|^{2}-|\overrightarrow{c}|^{2}+2\cdot\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=$
$=2^{2}+3^{2}-1^{2}+2\cdot0=$
$=4+9-1+0=12$
(оскільки $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$, то $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$).
Відповідь:
$12$.