Завдання № 10.42

№ 10.42 Геометрія = № 17.42 Математика

Визначте вид чотирикутника $ABCD$, якщо $A(3;1)$, $B(7;4)$, $C(4;0)$, $D(0;-3)$.

Знайдемо вектори сторін:

$\overrightarrow{AB}=(7-3;4-1)=(4;3)$

$\overrightarrow{DC}=(4-0;0-(-3))=(4;3)$

Оскільки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, то сторони $AB$ і $DC$ паралельні та рівні. Отже, $ABCD$ — паралелограм.

Знайдемо довжини суміжних сторін:

$\left| \overrightarrow{AB} \right|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=$

$=\sqrt{16+9}=5$

$\overrightarrow{BC}=(4-7;0-4)=$

$=(-3;-4)$

$\left| \overrightarrow{BC} \right|=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=$

$=\sqrt{9+16}=5$

Оскільки $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$, то всі сторони паралелограма рівні.

Отже, $ABCD$ — ромб.

Перевіримо, чи є він квадратом, порівнявши довжини діагоналей:

$\overrightarrow{AC}=(4-3;0-1)=(1;-1)$

$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}$

$\overrightarrow{BD}=(0-7;-3-4)=$

$=(-7;-7)$

$\left| \overrightarrow{BD} \right|=\sqrt{(-7)^{2}+(-7)^{2}}=$

$=\sqrt{49+49}=\sqrt{98}=7\sqrt{2}$

Оскільки $|\overrightarrow{AC}|\neq|\overrightarrow{BD}|$, то ромб не є квадратом.

Ромб.