№ 6.22 Геометрія = № 13.22 Математика
У квадраті $ABCD$ діагональ $AC$ дорівнює $4\sqrt{2}$, $N$ — середина $AD$. Знайдіть модулі векторів $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DN}$, $\overrightarrow{BN}$.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABC$ — прямокутний, $\angle BAC=45^{\circ}$.
Сторона квадрата:
$AB=AC\cdot sin45^{\circ}=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4$
Модулі векторів:
$|\overrightarrow{BD}|=4\sqrt{2}$ (як діагональ квадрата, що дорівнює $AC$).
$|\overrightarrow{AB}|=4$ (як сторона квадрата).
$|\overrightarrow{DN}|=\frac{AD}{2}=\frac{4}{2}=2$ (бо $N$ — середина $AD$).
$\left| \overrightarrow{BN} \right|=\sqrt{AB^{2}+AN^{2}}=$
$=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{16+4}=$
$=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ (за теоремою Піфагора для $\bigtriangleup ABN$).
Відповідь:
$4\sqrt{2}$, $4$, $2$, $2\sqrt{5}$.