№ 6.25 Геометрія = № 6.25 Математика
У чотирикутнику $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, точка $E$ — середина $BC$. Пряма $AE$ перетинає промінь $DC$ у точці $F$. Серед векторів $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BE}$, $\overrightarrow{CE}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{CF}$ укажіть усі пари:
1) колінеарних векторів;
2) співнапрямлених векторів;
3) протилежно напрямлених векторів;
4) рівних векторів;
5) векторів, що мають рівні модулі.
Розв’язок:
Оскільки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, то $ABCD$ — паралелограм, тому $BC \parallel AD$ і $AB \parallel DC$.
Точка $E$ — середина $BC$. У трикутниках $ABE$ і $FCE$: $\angle AEB=\angle FEC$ (вертикальні), $\angle ABE=\angle FCE$ (внутрішні різносторонні при $AB \parallel CF$, оскільки $CF$ лежить на промені $DC$), $BE=EC$. За двома кутами і стороною $\bigtriangleup ABE=\bigtriangleup FCE$, тому $CF=AB$. Вектори $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$ співнапрямлені (обидва вздовж $\overrightarrow{DC}$), тому $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CF}$.
1) Колінеарні вектори (лежать на паралельних прямих або на одній): $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$; $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{AD}$; $\overrightarrow{CE}$ і $\overrightarrow{AD}$; $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{CE}$.
2) Співнапрямлені вектори: $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$; $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{AD}$.
3) Протилежно напрямлені вектори: $\overrightarrow{CE}$ і $\overrightarrow{AD}$; $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{CE}$.
4) Рівні вектори: $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$.
5) Вектори, що мають рівні модулі: $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CF}|$; $|\overrightarrow{BE}|=|\overrightarrow{CE}|$.
Відповідь:
1) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$, $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{CE}$ і $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{CE}$;
2) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$, $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{AD}$;
3) $\overrightarrow{CE}$ і $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BE}$ і $\overrightarrow{CE}$;
4) $\overrightarrow{AB}$ і $\overrightarrow{CF}$;
5) $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CF}|$, $|\overrightarrow{BE}|=|\overrightarrow{CE}|$.