№ 6.26 Геометрія = № 13.26 Математика
У чотирикутнику $ABCD$ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Через точку $O$ перетину його діагоналей проведено пряму, що перетинає сторони $BC$ і $AD$ у точках $E$ і $F$ відповідно, причому $BE\neq EC$. Серед векторів $\overrightarrow{AE},\overrightarrow{EC},\overrightarrow{AF},\overrightarrow{DF},\overrightarrow{CF}$ укажіть усі пари:
1) колінеарних векторів;
2) співнапрямлених векторів;
3) протилежно напрямлених векторів;
4) рівних векторів;
5) векторів, що мають рівні модулі.
Розв’язок:
Оскільки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, то $ABCD$ — паралелограм. Точка $O$ — центр симетрії паралелограма, тому $\bigtriangleup OEC=\bigtriangleup OFA$.
1) Колінеарні вектори (лежать на паралельних прямих або на одній прямій):
$\overrightarrow{AE} \parallel \overrightarrow{CF}$; $\overrightarrow{EC} \parallel \overrightarrow{AF}$; $\overrightarrow{EC} \parallel \overrightarrow{DF}$; $\overrightarrow{AF} \parallel \overrightarrow{DF}$
2) Співнапрямлені вектори:
$\overrightarrow{EC} \uparrow \uparrow \overrightarrow{AF}$
3) Протилежно напрямлені вектори:
$\overrightarrow{EC} \uparrow \downarrow \overrightarrow{DF}$; $\overrightarrow{AF} \uparrow \downarrow \overrightarrow{DF}$; $\overrightarrow{AE} \uparrow \downarrow \overrightarrow{CF}$
4) Рівні вектори:
$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AF}$
5) Вектори, що мають рівні модулі:
$|\overrightarrow{AF}|=|\overrightarrow{EC}|$ (як рівних векторів); $|\overrightarrow{AE}|=|\overrightarrow{CF}|$ (як протилежно напрямлених, отриманих один з одного поворотом на $180^{\circ}$ навколо $O$).