№ 6.29 Геометрія = № 13.29 Математика
Дано відрізки $a$ і $b$ ($a>b$). Використовуючи метричні співвідношення у прямокутному трикутнику, побудуйте відрізок:
1) $x=\sqrt{ab}$;
2) $y=\sqrt{a(a-b)}$.
Розв’язок:
1) Побудуємо відрізок $AB=a+b$. На цьому відрізку як на діаметрі побудуємо півколо. Через точку $K$, що ділить $AB$ на відрізки $AK=a$ та $KB=b$, проведемо перпендикуляр до $AB$ до перетину з півколом у точці $C$. Тоді $CK=x=\sqrt{ab}$ (за метричним співвідношенням: висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між проекціями катетів).
2) Побудуємо відрізок $AB=a$ і на ньому як на діаметрі — півколо. Відкладемо від точки $B$ відрізок $BK=b$ у напрямку до $A$, тоді $AK=a-b$. Через точку $K$ проведемо перпендикуляр до $AB$ до перетину з півколом у точці $C$.
Кут $ACB$ прямий (вписаний кут, що спирається на діаметр). У прямокутному трикутнику $ACB$ відрізок $CK$ — висота, проведена до гіпотенузи, а $AK$ — проєкція катета $AC$ на гіпотенузу. Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і своєю проєкцією на гіпотенузу:
$AC^{2}=AB\cdot AK=a(a-b)$, $AC=\sqrt{a(a-b)}$.
Отже, шуканий відрізок $y=AC$.
