№ 7.27 Геометрія = № 14.27 Математика
Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами $A(4;2)$, $B(5;5)$, $C(4;8)$ і $D(3;5)$ — ромб.
Розв’язок:
$\overrightarrow{AB}=(5-4;5-2)=(1;3)$
$\overrightarrow{DC}=(4-3;8-5)=(1;3)$
Оскільки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, то $ABCD$ — паралелограм.
Знайдемо довжини двох сусідніх сторін:
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$
$\overrightarrow{BC}=(4-5;8-5)=(-1;3)$
$\left| \overrightarrow{BC} \right|=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}}=$
$=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$
Сусідні сторони паралелограма рівні, тому $ABCD$ — ромб.
Що й треба було довести.