№ 7.28 Геометрія = № 14.28 Математика
Доведіть за допомогою векторів, що чотирикутник $ABCD$ з вершинами $A(-1;4)$, $B(-1;0)$, $C(4;0)$ і $D(4;4)$ — прямокутник.
Розв’язок:
$\overrightarrow{AB}=(-1-(-1);0-4)=(0;-4)$
$\overrightarrow{DC}=(4-4;0-4)=(0;-4)$
Оскільки $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, то $ABCD$ — паралелограм.
Знайдемо вектори діагоналей:
$\overrightarrow{AC}=(4-(-1);0-4)=(5;-4)$
$\left| \overrightarrow{AC} \right|=\sqrt{5^{2}+(-4)^{2}}=$
$=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$
$\overrightarrow{BD}=(4-(-1);4-0)=(5;4)$
$\left| \overrightarrow{BD} \right|=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=$
$=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$
Оскільки $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$, діагоналі паралелограма рівні.
За ознакою прямокутника, паралелограм, у якого діагоналі рівні, є прямокутником.
Що й треба було довести.