№ 7.29 Геометрія = № 14.29 Математика
Модуль вектора $\overrightarrow{a}(x;y)$ дорівнює $\sqrt{10}$. Знайдіть координати вектора $\overrightarrow{a}$, якщо координата $x$ цього вектора на $2$ більша за координату $y$.
Розв’язок:
Нехай абсциса $x$, тоді ордината $y=x-2$.
Вектор має вигляд $\overrightarrow{a}(x;x-2)$.
Модуль вектора:
$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^{2}+(x-2)^{2}}=\sqrt{10}$
Піднесемо обидві частини до квадрата:
$x^{2}+(x-2)^{2}=10$
$x^{2}+x^{2}-4x+4=10$
$2x^{2}-4x-6=0$
Поділимо на $2$:
$x^{2}-2x-3=0$
За теоремою Вієта:
$x_{1}=-1$, $x_{2}=3$.
Знайдемо відповідні значення $y=x-2$:
1) Якщо $x_{1}=-1$, то $y_{1}=-1-2=-3$.
2) Якщо $x_{2}=3$, то $y_{2}=3-2=1$.
Отже, $\overrightarrow{a}(-1;-3)$ або $\overrightarrow{a}(3;1)$.