№ 9.15 Геометрія = № 16.15 Математика
Серед векторів $\overrightarrow{a}(1;-2)$, $\overrightarrow{b}(-2;4)$, $\overrightarrow{c}(4;-8)$, $\overrightarrow{d}(-0{,}2;0{,}4)$ знайдіть пари співнапрямлених і пари протилежно напрямлених векторів.
Розв’язок:
Вектори $\overrightarrow{p}(x_{1};y_{1})$ та $\overrightarrow{q}(x_{2};y_{2})$ колінеарні, якщо їхні координати пропорційні: $\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{y_{1}}=\lambda$.
Якщо $\lambda>0$, вектори співнапрямлені ($\overrightarrow{p} \uparrow \uparrow \overrightarrow{q}$), якщо $\lambda<0$ — протилежно напрямлені ($\overrightarrow{p} \uparrow \downarrow \overrightarrow{q}$).
Перевіримо пари:
1) $\overrightarrow{a}(1;-2)$ та $\overrightarrow{b}(-2;4)$: $\frac{-2}{1}=\frac{4}{-2}=-2<0$, отже, $\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{b}$.
2) $\overrightarrow{a}(1;-2)$ та $\overrightarrow{c}(4;-8)$: $\frac{4}{1}=\frac{-8}{-2}=4>0$, отже, $\overrightarrow{a} \uparrow \uparrow \overrightarrow{c}$.
3) $\overrightarrow{a}(1;-2)$ та $\overrightarrow{d}(-0{,}2;0{,}4)$: $\frac{-0{,}2}{1}=\frac{0{,}4}{-2}=-0{,}2<0$, отже, $\overrightarrow{a} \uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$.
4) $\overrightarrow{b}(-2;4)$ та $\overrightarrow{c}(4;-8)$: $\frac{4}{-2}=\frac{-8}{4}=-2<0$, отже, $\overrightarrow{b} \uparrow \downarrow \overrightarrow{c}$.
5) $\overrightarrow{b}(-2;4)$ та $\overrightarrow{d}(-0{,}2;0{,}4)$: $\frac{-0{,}2}{-2}=\frac{0{,}4}{4}=0{,}1>0$, отже, $\overrightarrow{b} \uparrow \uparrow \overrightarrow{d}$.
6) $\overrightarrow{c}(4;-8)$ та $\overrightarrow{d}(-0{,}2;0{,}4)$: $\frac{-0{,}2}{4}=\frac{0{,}4}{-8}=-0{,}05<0$, отже, $\overrightarrow{c} \uparrow \downarrow \overrightarrow{d}$.
Відповідь:
співнапрямлені: $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{b}$ і $\overrightarrow{d}$; протилежно напрямлені: $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{b}$ і $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{c}$ і $\overrightarrow{d}$.