№ 9.30 Геометрія = № 16.30 Математика
Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках $A(-1;4)$, $B(5;7)$, $C(5;2)$, $D(-3;-2)$ є трапецією.
Розв’язок:
Знайдемо координати векторів сторін:
$\overrightarrow{AB}=(5-(-1);7-4)=(6;3)$
$\overrightarrow{BC}=(5-5;2-7)=(0;-5)$
$\overrightarrow{CD}=(-3-5;-2-2)=(-8;-4)$
$\overrightarrow{DA}=(-1-(-3);4-(-2))=(2;6)$
Перевіримо паралельність сторін:
Для векторів $\overrightarrow{BC}(0;-5)$ та $\overrightarrow{AD}(2;6)$ (де $\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}=(-2;-6)$):
$\frac{0}{-2}=0$, а $\frac{-5}{-6}\approx0{,}83$. Вони не паралельні.
Для векторів $\overrightarrow{AB}(6;3)$ та $\overrightarrow{DC}(-\overrightarrow{CD}=(8;4))$:
$\frac{6}{8}=0{,}75$ та $\frac{3}{4}=0{,}75$.
Оскільки координати пропорційні, то $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{DC}$.
Для векторів $\overrightarrow{BC}(0;-5)$ та $\overrightarrow{AD}(2;6)$:
$\frac{0}{2}=0$ та $\frac{-5}{6}\approx-0{,}83$. Вони не паралельні.
Отже, у чотирикутнику $ABCD$ одна пара протилежних сторін паралельні ($AB \parallel CD$), а інша — ні. Тому $ABCD$ — трапеція з основами $AB$ та $CD$.
Що й треба було довести.