№ 9.30 Геометрія = № 16.30 Математика
Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках $A(-1;4)$, $B(5;7)$, $C(5;2)$, $D(-3;-2)$ є трапецією.
Розв’язок:
Знайдемо координати векторів сторін:
$\overrightarrow{AB}=(5-(-1);7-4)=(6;3)$
$\overrightarrow{BC}=(5-5;2-7)=(0;-5)$
$\overrightarrow{CD}=(-3-5;-2-2)=(-8;-4)$
$\overrightarrow{DA}=(-1-(-3);4-(-2))=(2;6)$
Перевіримо колінеарність векторів протилежних сторін.
$\overrightarrow{AB}(6;3)$ і $\overrightarrow{DC}(8;4)$: $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$, координати пропорційні, тому $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{DC}$, тобто $AB \parallel DC$ (точка $D$ не лежить на прямій $AB$, бо $\overrightarrow{AD}(-2;-6)$ не колінеарний $\overrightarrow{AB}$).
$\overrightarrow{BC}(0;-5)$ і $\overrightarrow{AD}(-2;-6)$: перша координата $\overrightarrow{BC}$ дорівнює $0$, а в $\overrightarrow{AD}$ — ні, тому вектори не колінеарні і $BC \nparallel AD$.
Отже, у чотирикутнику $ABCD$ одна пара протилежних сторін паралельні ($AB \parallel CD$), а інша — ні. Тому $ABCD$ — трапеція з основами $AB$ та $CD$.
Що й треба було довести.