№ 9.32 Геометрія = № 16.32 Математика
На колі $x^{2}+y^{2}=1$ знайдіть таку точку $A$, щоб вектор $\overrightarrow{OA}$, де $O$ — початок координат, був співнаправлений з вектором $\overrightarrow{c}(3;-4)$.
Розв’язок:
Координати вектора $\overrightarrow{OA}$ збігаються з координатами точки $A(x;y)$. Якщо $\overrightarrow{OA} \uparrow \uparrow \overrightarrow{c}(3;-4)$, то координати вектора $\overrightarrow{OA}$ мають бути пропорційні координатам вектора $\overrightarrow{c}$ з додатним коефіцієнтом пропорційності. Оскільки перша координата вектора $\overrightarrow{c}$ додатна ($3>0$), то і $x>0$.
Оскільки точка $A$ лежить на колі $x^{2}+y^{2}=1$, то $y^{2}=1-x^{2}$. Оскільки друга координата вектора $\overrightarrow{c}$ від’ємна ($-4<0$), то і $y<0$. Отже, $y=-\sqrt{1-x^{2}}$.
Умова співнаправленості векторів $\overrightarrow{OA}(x;y)$ та $\overrightarrow{c}(3;-4)$ означає, що відношення їхніх відповідних координат рівні:
$\frac{x}{3}=\frac{y}{-4}$
Підставимо $y=-\sqrt{1-x^{2}}$:
$\frac{x}{3}=\frac{-\sqrt{1-x^{2}}}{-4}$
$3\sqrt{1-x^{2}}=4x$
Піднесемо обидві частини до квадрата:
$9(1-x^{2})=16x^{2}$
$9-9x^{2}=16x^{2}$
$25x^{2}=9$
$x^{2}=\frac{9}{25}$
Оскільки $x>0$, то $x=\frac{3}{5}$.
Знайдемо $y$:
$y=-\sqrt{1-\left( \frac{3}{5} \right)^{2}}=$
$=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$
Отже, $A\left( \frac{3}{5};-\frac{4}{5} \right)$.
Відповідь:
$A\left( \frac{3}{5};-\frac{4}{5} \right)$.