№ 36 ВПР 2 Геометрія = № 36 ВПТ 3 Математика
$ABCD$ — паралелограм (мал. 6 і 7). Виразіть вектор $\overrightarrow{x}$ через вектори $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$.
Розв’язок:
Мал. 6:
Точка $M$ — середина сторони $AB$. Вектор $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{CM}$.
За правилом трикутника:
$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}$.
Оскільки $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$, а $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$, то:
$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$.
Мал. 7:
Точки $M$ і $N$ — середини сторін $AD$ і $CD$ відповідно. На малюнку вектор $\overrightarrow{x}$ напрямлений від $N$ до $M$, тобто $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{NM}$.
Помістимо $A$ у початок координат: $A=\overrightarrow{0}$, $B=\overrightarrow{a}$, $C=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$, $D=\overrightarrow{b}$ (бо $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$).
$M=\frac{1}{2}(A+D)=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$.
$N=\frac{1}{2}(C+D)=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.
$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{NM}=M-N=$
$=\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$.