№ 39 ВПР 2 Геометрія = № 39 ВПТ 3 Математика
Доведіть, що $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$, де $M$ — точка перетину медіан трикутника $ABC$.
Розв’язок:
Розглянемо $\bigtriangleup BMC$: $\overrightarrow{MN}$ — медіана $\bigtriangleup BMC$, тоді $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})$ (як половина діагоналі паралелограма, побудованого на векторах $\overrightarrow{MB}$ і $\overrightarrow{MC}$).
Звідси:
$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MN}$
За властивістю точки перетину медіан трикутника: $AM\ :MN=2\ :1$. Оскільки вектори $\overrightarrow{MA}$ і $\overrightarrow{MN}$ мають протилежні напрямки, то:
$\overrightarrow{MA}=-2\overrightarrow{MN}$
Тоді:
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=$
$=\overrightarrow{MA}+\left( \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right)=$
$=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MN}=$
$=-2\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}$
Що й треба було довести.