№ 48 ВПР 2 Геометрія = № 48 ВПТ 3 Математика
Дано вектори $\overrightarrow{a}(2;y)$ і $\overrightarrow{b}(4;-1)$. За яких значень $y$ кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$:
1) гострий;
2) прямий;
3) тупий?
Розв’язок:
Скалярний добуток векторів: $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=2\cdot4+y\cdot(-1)=8-y$.
Окремо знайдемо значення $y$, за якого $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ колінеарні: $\frac{2}{4}=\frac{y}{-1}$, звідки $y=-\frac{1}{2}$. При $y=-\frac{1}{2}$ вектори співнапрямлені, кут між ними $0^{\circ}$ (не утворюють «гострого кута» в строгому сенсі).
Вид кута залежить від знака скалярного добутку:
1) Кут гострий, якщо $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$ і вектори не колінеарні:
$8-y>0$, тобто $y<8$, причому $y\neq-\frac{1}{2}$.
2) Кут прямий, якщо $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$:
$8-y=0$, $y=8$.
3) Кут тупий, якщо $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0$:
$8-y<0$, $y>8$.